Příklad 1: Počet členů domácnosti

Zadání

Strana 1 v PDF

Máme k dispozici údaje o počtu členů domácnosti 30 domácností v obci Šluknov. Uspořádejte tato data do vhodné tabulky a vhodným způsobem graficky znázorněte. Pomocí vhodných charakteristik popište úroveň, variabilitu a šikmost daného rozdělení.

4	5	3	2	3	3
3	3	3	2	5	3
3	2	2	2	2	3
4	6	2	3	2	2
4	3	2	3	2	3

30 hodnot, n = 30.

Typ proměnné a co z toho plyne

Počet členů domácnosti je proměnná kardinální, nespojitá (diskrétní):

nabývá jen celých čísel, mezi 2 a 3 členy nic není,
nemůže být 0, domácnost má aspoň jednoho člena, takže má přirozený počátek a dává smysl i podíl (4 členové jsou dvakrát víc než 2),
různých hodnot je jen pět (2 až 6).

Z toho plyne:

tabulka prostého rozdělení četností (každá hodnota má svůj řádek), včetně kumulativních četností, protože hodnoty jdou seřadit,
graf: polygon četností (spojnicový). Statgraphics u této procedury nabízí sloupcový graf, ten je taky v pořádku,
počítat se dají všechny charakteristiky: modus, medián a kvartily, aritmetický průměr, rozptyl, směrodatná odchylka, variační koeficient, míry šikmosti.

Řešení po krocích

1. Tabulka prostého rozdělení četností

Ručně. Spočítat, kolikrát se každá hodnota v datech vyskytuje (čárkovací metoda), a doplnit relativní a kumulativní četnosti. Poslední dva sloupce jsou pomocné pro průměr a rozptyl.

p_i = n_i / n N_i = n₁ + … + n_i F_i = N_i / n

Počet členů x_i	Počet domácností n_i	p_i	Kumul. absolutní N_i	Kumul. relativní F_i	x_i·n_i	x_i²·n_i
2	11	0,367	11	0,367	22	44
3	13	0,433	24	0,800	39	117
4	3	0,100	27	0,900	12	48
5	2	0,067	29	0,967	10	50
6	1	0,033	30	1,000	6	36
Celkem	30	1,000	×	×	89	295

Příklad výpočtu: p₁ = 11 / 30 = 0,367; N₂ = 11 + 13 = 24; F₂ = 24 / 30 = 0,800.

11 domácností má 2 členy. 43,3 % domácností má 3 členy. 24 domácností, tedy 80 % vybraných domácností, má nejvýše 3 členy (to je interpretace kumulativní četnosti).

2. Graf: polygon četností

Ručně (na test náčrt): body [x_i; n_i] spojené čarou. V Statgraphicsu sloupcový graf (Barchart).

Polygon četností: počet členů domácnosti, 30 domácností ve Šluknově

3. Úroveň (poloha)

Modus, ručně. Hodnota s největší četností.

x̂ = 3 (n_i = 13)

Medián, ručně. n = 30 je sudé, medián je průměr 15. a 16. hodnoty seřazené řady. Podle kumulativních četností: hodnoty 1. až 11. jsou dvojky, 12. až 24. trojky, takže 15. i 16. hodnota je 3.

x̃ = (x₍₁₅₎ + x₍₁₆₎) / 2 = (3 + 3) / 2 = 3

Kvartily, ručně. Pořadí kvantilu m_p podle vzorce z Tématu 11: n·p < m_p ≤ n·p + 1. Když vyjde n·p celé číslo, bere se průměr hodnot na pořadí n·p a n·p + 1 (stejně jako u mediánu).

x̃₂₅: 30 · 0,25 = 7,5 < m ≤ 8,5 → m = 8 → x₍₈₎ = 2

x̃₇₅: 30 · 0,75 = 22,5 < m ≤ 23,5 → m = 23 → x₍₂₃₎ = 3

Statgraphics by měl dát stejné kvartily: u dat z cvičení 26. 10. (10 hodnot) vyšly jeho Lower a Upper quartile přesně podle tohoto pravidla. Excel (QUARTIL) počítá jinak, interpoluje mezi hodnotami, a u jiných dat může vyjít jiné číslo.

Aritmetický průměr (vážený), ručně. Z pomocného sloupce x_i·n_i.

x̄ = ∑ x_i·n_i / n = 89 / 30 = 2,967 člena

Nejvíce vybraných domácností má 3 členy (modus). U 50 % vybraných domácností je počet členů 3 a méně a u 50 % 3 a více (medián). U 25 % domácností jsou to 2 členové a méně, u 75 % domácností 3 členové a méně (kvartily). Průměrný počet členů vybrané domácnosti je 2,967 osoby.

Pozor na interpretaci kvantilu. Kvantil říká „aspoň p % hodnot je menších nebo rovných“, ne „přesně p % má nejvýše tolik“. Horní kvartil je 3, ale ve skutečnosti má 3 a méně členů 80 % domácností (kumulativní četnost F₂). Věta „75 % domácností má maximálně 3 členy“ míchá kvantil s kumulativní četností. Správně: „u 75 % domácností je počet členů 3 a méně“. Na přednášce 30. 9. se upozorňovalo, že kolující hotové materiály mají právě tuhle chybu.

4. Variabilita

Variační rozpětí, kvartilové rozpětí a odchylka, ručně.

R = x_max − x_min = 6 − 2 = 4

R_q = x̃₇₅ − x̃₂₅ = 3 − 2 = 1 Q = R_q / 2 = 0,5

Pomocná tabulka odchylek od průměru, ručně (x̄ = 2,9667). Na test stačí sloupec se čtverci, ostatní jsou pro průměrnou odchylku a míru šikmosti α.

x_i	n_i	x_i − x̄	\|x_i − x̄\|·n_i	(x_i − x̄)²·n_i	(x_i − x̄)³·n_i
2	11	−0,9667	10,6333	10,2789	−9,9363
3	13	0,0333	0,4333	0,0144	0,0005
4	3	1,0333	3,1000	3,2033	3,3101
5	2	2,0333	4,0667	8,2689	16,8134
6	1	3,0333	3,0333	9,2011	27,9100
Celkem	30	×	21,2667	30,9667	38,0978

Průměrná absolutní odchylka, ručně.

d = ∑ |x_i − x̄|·n_i / n = 21,2667 / 30 = 0,709 člena

Rozptyl a směrodatná odchylka, ručně. Jsou dvě verze a obě se v materiálech katedry objevují:

výběrový rozptyl s′² (dělí se n − 1): je na taháku se vzorci a počítá ho Statgraphics. Pracujeme s výběrem 30 domácností, ne s celým Šluknovem, proto je hlavní výsledek tento,
klasický rozptyl s² (dělí se n): počítají ho ručně řešené příklady 11_2 až 11_4, často výpočtovým tvarem.

s′² = ∑ (x_i − x̄)²·n_i / (n − 1) = 30,9667 / 29 = 1,0678 s′ = √1,0678 = 1,033 člena

s² = ∑ x_i²·n_i / n − x̄² = 295 / 30 − 2,9667² = 9,8333 − 8,8011 = 1,0322 s = 1,016 člena

Převod mezi nimi: s′² = s² · n / (n − 1) = 1,0322 · 30 / 29 = 1,0678.

Variační koeficient, ručně.

V_x = s′ / x̄ = 1,0334 / 2,9667 = 0,348, tj. 34,8 % (s klasickou s: 0,342, tj. 34,2 %)

Počet členů vybraných domácností se pohybuje od 2 do 6, rozpětí je 4 členy. Prostřední polovina domácností má 2 až 3 členy (kvartilové rozpětí 1). Počet členů se od průměrného počtu liší v průměru o 1,03 člena (směrodatná odchylka). Směrodatná odchylka představuje 34,8 % průměrného počtu členů, variabilita je tedy spíš menší.

5. Šikmost

Jednoduchá míra šikmosti α′, ručně. Tuhle míru vyučující doporučuje. Podprůměrné hodnoty (menší než 2,967) jsou jen dvojky, nadprůměrné jsou 3 a víc.

α′ = (n_< − n_>) / n = (11 − 19) / 30 = −0,267

Momentová míra šikmosti α, ručně nebo v Statgraphicsu. Ze sloupce třetích mocnin.

α = ∑ (x_i − x̄)³·n_i / (n · s³) = 38,0978 / (30 · 1,0334³) = 1,151 (s klasickou s: 1,211)

Statgraphics ukáže Skewness = 1,2756. Používá upravený vzorec pro výběr (s opravou na rozsah n), proto je číslo trochu jiné. Ověřeno na datech z cvičení 26. 10., kde stejný vzorec dá −0,0856 jako na plátně.

Míry vychází s opačným znaménkem. α′ je záporná, α kladná. Příčina: průměr 2,967 leží těsně pod hodnotou 3, kterou má 13 domácností. Všechny trojky se tak počítají jako nadprůměrné a α′ vyjde záporně, i když graf má dlouhý „ocas“ doprava (5 a 6 členů) a momentová α ho zachytí jako kladné zešikmení. Vyučující α nedoporučuje právě proto, že často vychází s jiným znaménkem než ostatní míry. V testu uvést α′ a interpretovat ji.

Jednoduchá míra šikmosti je −0,267, rozdělení počtu členů domácnosti je mírně záporně zešikmené: mezi vybranými domácnostmi je víc domácností s nadprůměrným počtem členů (19) než s podprůměrným (11).

Výsledky na jednom místě

Charakteristika	Hodnota	Statgraphics (Summary Statistics)
Rozsah n	30	Count 30
Aritmetický průměr x̄	2,967	Average 2,96667
Medián x̃	3	Median 3,0
Modus x̂	3	Mode 3,0
Dolní a horní kvartil	2 a 3	Lower quartile 2,0, Upper quartile 3,0
Variační rozpětí R	4	Range 4,0
Kvartilové rozpětí R_q	1	Interquartile range 1,0
Průměrná absolutní odchylka d	0,709	není
Výběrový rozptyl s′²	1,0678	Variance 1,06782
Výběrová směrodatná odchylka s′	1,033	Standard deviation 1,03335
Klasický rozptyl s² a s	1,0322 a 1,016	není, přepočet s′² · (n − 1) / n
Variační koeficient V_x	34,83 %	Coeff. of variation 34,8321 %
Jednoduchá míra šikmosti α′	−0,267	není
Momentová míra šikmosti α	1,151	Skewness 1,2756 (jiný vzorec)

Sloupec Statgraphics je dopočítaný stejnými vzorci, jaké program používá. Ověřit podle screenshotu.

Kontrola s hodnotami ze zápisků z přednášky 30. 9.

V zápiscích (příklad se na přednášce nedopočítal, hodnoty nejsou potvrzené z tabule): x̄ ≈ 2,967, x̂ = 3, x̃ = 3, x̃₂₅ = 2, x̃₇₅ = 3, R = 4, R_q = 1, Q = 0,5, d ≈ 0,71, s′² ≈ 1,07, s′ ≈ 1,03, V_x ≈ 35 %, α ≈ 1,15 (s klasickou s 1,21), α′ ≈ −0,27. Výpočet výše s nimi souhlasí.

Postup v Statgraphicsu

Data zadat do jednoho sloupce pod sebe (30 řádků), sloupec pojmenovat např. Pocet_clenu.

Tabulka četností a graf: Describe > One Factor > Tabulation, do Data vybrat Pocet_clenu. Ve výstupech zaškrtnout Frequency Table a Barchart. Tabulka má sloupce Frequency (n_i), Relative Frequency (p_i), Cumulative Frequency (N_i) a Cum. Rel. Frequency (F_i).

Charakteristiky: Describe > One Variable Analysis, Data Pocet_clenu, výstup Summary Statistics. Kvartily a další kvantily: výstup Percentiles.

Statgraphics počítá jen výběrový rozptyl a směrodatnou odchylku (n − 1). Jednoduchou míru šikmosti α′ ani průměrnou absolutní odchylku nemá, ty se počítají ručně.

Screenshot ze Statgraphicsu doplníme

Na co se můžou zeptat v testu

Přibude domácnost s 12 členy. Co se stane s průměrem a s mediánem?

Průměr vzroste na (89 + 12) / 31 = 3,258, protože je funkcí všech hodnot a extrém ho táhne nahoru. Medián zůstane 3: při n = 31 je to 16. hodnota a ta je pořád trojka. Medián na extrémy nereaguje.

Proč Statgraphics ukazuje rozptyl 1,068, když v řešeném příkladu katedry vychází jinak spočítaný?

Statgraphics dělí n − 1 (výběrový rozptyl s′²), ručně řešené příklady dělí n (klasický rozptyl s²). Převod: s² = s′² · (n − 1) / n = 1,0678 · 29 / 30 = 1,0322.

Horní kvartil je 3. Znamená to, že přesně 75 % domácností má 3 a méně členů?

Ne. Kvartil zaručuje, že aspoň 75 % hodnot je menších nebo rovných 3 a aspoň 25 % větších nebo rovných. Skutečný podíl domácností se 3 a méně členy je kumulativní četnost F = 0,800, tedy 80 %.

Jak je možné, že α je kladná a α′ záporná? Které věřit?

α′ jen počítá hodnoty pod a nad průměrem. Průměr 2,967 je těsně pod 3, takže všech 13 trojek je „nadprůměrných“. α váží vzdálenosti na třetí, takže ji zvednou vzdálené pětky a šestka. Vyučující doporučuje α′, v testu ji interpretovat a rozpor vysvětlit takhle.