Příklad 3: Věk 30 osob
Zadání
Máme k dispozici údaje o věku 30 osob, které se ve Šluknově zúčastnili dotazníkového šetření. Uspořádejte tato data do vhodné tabulky a vhodným způsobem graficky znázorněte. Pomocí vhodných charakteristik popište úroveň, variabilitu a šikmost těchto hodnot.
| 59 | 45 | 64 | 66 | 47 | 54 |
| 31 | 35 | 68 | 71 | 36 | 64 |
| 58 | 64 | 67 | 72 | 74 | 36 |
| 20 | 68 | 69 | 54 | 80 | 64 |
| 32 | 33 | 74 | 29 | 80 | 38 |
Typ proměnné a co z toho plyne
Věk v dokončených letech je proměnná kardinální: má přirozenou nulu a dává smysl podíl (60 let je dvakrát víc než 30). Zapisuje se v celých letech, takže je formálně nespojitá, stejně ji tak bere řešený příklad 11_4. Rozhoduje ale, že má mnoho různých hodnot (tady 22 různých věků ve 30 odpovědích).
- Tabulka prostého rozdělení četností by měla 22 řádků, skoro všechny s četností 1 nebo 2, a nic by nezpřehlednila. Proto tabulka intervalového rozdělení četností.
- Graf: histogram (sloupce bez mezer přes celé intervaly). Histogram patří jen k intervalovému rozdělení.
- Počítat se dají všechny charakteristiky. Pokud máme původní hodnoty, počítají se z nich, ne z tabulky intervalů (ta je jen přibližná). Statgraphics je počítá taky z původních hodnot.
Řešení po krocích
1. Seřazení hodnot
Ručně. Bez seřazené řady se nedá najít medián ani kvartily a snáz se třídí do intervalů.
2. Tabulka intervalového rozdělení četností
Ručně, postup jako v řešeném příkladu 11_4.
Intervaly jsou zleva otevřené a zprava uzavřené jako v příkladu 11_4: (20; 30⟩ znamená 21 až 30 let. Aby se do prvního intervalu vešla dvacítka, začíná se od 10, a s šířkou 10 let tak vyjde 7 intervalů místo 6 (v příkladu 11_4 stejně 8 místo 7).
| Věk | Střed | ni | pi | Ni | Fi |
|---|---|---|---|---|---|
| do 20 vč. | 15 | 1 | 0,0333 | 1 | 0,0333 |
| (20; 30⟩ | 25 | 1 | 0,0333 | 2 | 0,0667 |
| (30; 40⟩ | 35 | 7 | 0,2333 | 9 | 0,3000 |
| (40; 50⟩ | 45 | 2 | 0,0667 | 11 | 0,3667 |
| (50; 60⟩ | 55 | 4 | 0,1333 | 15 | 0,5000 |
| (60; 70⟩ | 65 | 9 | 0,3000 | 24 | 0,8000 |
| (70; 80⟩ | 75 | 6 | 0,2000 | 30 | 1,0000 |
| Celkem | × | 30 | 1,0000 | × | × |
Nejvíc respondentů, 9, je ve věku 61 až 70 let. 23,3 % respondentů je ve věku 31 až 40 let. 15 respondentů, tedy polovina, je ve věku do 60 let.
3. Graf: histogram
Ručně náčrt, v Statgraphicsu Frequency Histogram.
4. Úroveň (poloha)
Aritmetický průměr, ručně. Z původních hodnot.
Jen pro představu: ze středů intervalů by vyšlo 54,333, to je přibližný průměr, kdyby původní hodnoty nebyly k dispozici.
Medián, ručně. n = 30 je sudé, průměr 15. a 16. hodnoty seřazené řady.
Kvartily, ručně (n·p < mp ≤ n·p + 1).
Modus, ručně. Z původních hodnot je nejčastější věk 64 let (4×), Statgraphics ukáže Mode 64. Tak to dělá i katedra v řešeném příkladu 11_4 (věk, původní hodnoty známe): x̂ = 64. Jako doplněk se dá spočítat modus z intervalové tabulky (vlastní úvaha, katedra ho počítá jen tam, kde původní hodnoty nemá, viz 11_5): modální interval je (60; 70⟩ s četností 9, předchozí má 4, následující 6.
Průměrný věk respondentů je 55,07 roku. U 50 % respondentů je věk 61,5 roku a méně, u 50 % 61,5 roku a více (medián). U 25 % respondentů je věk 36 let a méně, u 75 % 68 let a méně (kvartily). Nejčastější věk respondentů je 64 let (modus).
5. Variabilita
Rozpětí, ručně.
Rozptyl a směrodatná odchylka z původních hodnot, ručně. Výpočtový tvar, potřeba je jen ∑ xi = 1652 a ∑ xi² = 99702.
Rozklad rozptylu (jak to dělá řešený příklad 11_4, který počítá rozptyl přes skupiny). Celkový rozptyl = rozptyl skupinových průměrů + průměr skupinových rozptylů. Na test spíš jen jako kontrola, v tabulce níž jsou pomocné sloupce.
| Věk | ni | Hodnoty | x̄i | x̄i·ni | (x̄i − x̄)²·ni | si² | si²·ni |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| do 20 vč. | 1 | 20 | 20,0000 | 20 | 1229,6711 | 0,0000 | 0,0000 |
| (20; 30⟩ | 1 | 29 | 29,0000 | 29 | 679,4711 | 0,0000 | 0,0000 |
| (30; 40⟩ | 7 | 31, 32, 33, 35, 36, 36, 38 | 34,4286 | 241 | 2981,5168 | 5,3878 | 37,7143 |
| (40; 50⟩ | 2 | 45, 47 | 46,0000 | 92 | 164,4089 | 1,0000 | 2,0000 |
| (50; 60⟩ | 4 | 54, 54, 58, 59 | 56,2500 | 225 | 5,6011 | 5,1875 | 20,7500 |
| (60; 70⟩ | 9 | 64, 64, 64, 64, 66, 67, 68, 68, 69 | 66,0000 | 594 | 1075,8400 | 3,7778 | 34,0000 |
| (70; 80⟩ | 6 | 71, 72, 74, 74, 80, 80 | 75,1667 | 451 | 2424,0600 | 12,8056 | 76,8333 |
| Celkem | 30 | × | 1652 | 8560,5690 | × | 171,2976 |
Vyjde stejně jako přímý výpočet. Skoro celý rozptyl je mezi skupinami, uvnitř intervalů se věk liší málo.
Variační koeficient, ručně.
Věk respondentů je od 20 do 80 let, rozpětí 60 let. Prostřední polovina respondentů je ve věku 36 až 68 let (kvartilové rozpětí 32 let). Věk jednotlivých respondentů se od průměrného věku liší v průměru o 17,35 roku. Směrodatná odchylka představuje 31,5 % průměrného věku.
6. Šikmost
Jednoduchá míra šikmosti α′, ručně. Průměr 55,07: pod ním je 13 hodnot (20 až 54), nad ním 17 (58 až 80).
Momentová míra α = −0,382 (s′), s klasickou s −0,401, Statgraphics Skewness −0,4229. Tady mají všechny míry stejné znaménko. Souhlasí to i s polohou průměru a mediánu: x̄ = 55,07 < x̃ = 61,5, což je typické pro záporné zešikmení.
Jednoduchá míra šikmosti je −0,133, rozdělení věku je mírně záporně zešikmené: víc respondentů je starších, než je průměrný věk (17), než mladších (13). Mladší respondenti jsou rozprostření na větším úseku věku (20 až 54), starší jsou nahuštění mezi 58 a 80 lety.
Výsledky na jednom místě
| Charakteristika | Hodnota | Statgraphics (Summary Statistics) |
|---|---|---|
| Rozsah n | 30 | Count 30 |
| Aritmetický průměr x̄ | 55,067 | Average 55,0667 |
| Medián x̃ | 61,5 | Median 61,5 |
| Modus x̂ | 64 (z hodnot), 66,25 (z intervalů) | Mode 64,0 |
| Dolní a horní kvartil | 36 a 68 | Lower quartile 36,0, Upper quartile 68,0 |
| Variační rozpětí R | 60 | Range 60,0 |
| Kvartilové rozpětí Rq | 32 | Interquartile range 32,0 |
| Výběrový rozptyl s′² a s′ | 301,0989 a 17,352 | Variance 301,099, Standard deviation 17,3522 |
| Klasický rozptyl s² a s | 291,0622 a 17,061 | není |
| Variační koeficient Vx | 31,51 % | Coeff. of variation 31,5113 % |
| Jednoduchá míra šikmosti α′ | −0,133 | není |
| Momentová míra šikmosti α | −0,382 | Skewness −0,4229 (jiný vzorec) |
Postup v Statgraphicsu
Data do jednoho sloupce, např. Vek.
Intervalová tabulka a histogram: Describe > One Variable Analysis, výstupy Frequency Tabulation a Frequency Histogram. Program si intervaly zvolí sám. Na ty z tabulky výše je nastavit pravým tlačítkem v okně tabulky, Pane Options: Number of classes 7, Lower limit 10, Upper limit 80 (stejně jako v řešeném příkladu 11_4). Histogram nastavení převezme.
Charakteristiky: tamtéž výstup Summary Statistics, kvantily výstup Percentiles.
Statgraphics počítá z původních hodnot a jen výběrový rozptyl (n − 1). α′ nemá.
Na co se můžou zeptat v testu
Nejstarší respondent by měl místo 80 let 95. Co se stane s průměrem, mediánem a rozpětím?
Průměr vzroste o 15 / 30 = 0,5 roku na 55,57. Medián zůstane 61,5, prostřední hodnoty se nezměnily. Variační rozpětí vzroste z 60 na 75 let, kvartilové rozpětí zůstane 32.
Proč histogram a ne polygon nebo sloupcový graf jednotlivých hodnot?
Hodnot je moc různých (22), graf jednotlivých věků by měl skoro všechny sloupce výšky 1 a tvar rozdělení by nebyl vidět. Data se proto sloučí do intervalů a k intervalové tabulce patří histogram.
Proč průměr ze středů intervalů (54,33) nesedí s průměrem 55,07?
Výpočet ze středů předpokládá, že každá hodnota leží uprostřed svého intervalu. Je to jen přibližný výsledek, používá se, když původní data nemáme. Když je máme, počítá se z nich.
Co se změní, když zvolíme intervaly po 5 letech?
Změní se tabulka, histogram a modus z intervalů. Průměr, medián, kvartily, rozptyl a šikmost z původních hodnot zůstanou stejné, na intervalech nezávisí.