Příklad 4: Výdaje na potraviny, intervalové rozdělení četností

Zadání

Strana 4 v PDF

Máme k dispozici údaje o měsíčních výdajích na potraviny 40 domácností. Data jsou roztříděna v následující tabulce intervalového rozdělení četností. Pomocí vhodných charakteristik popište úroveň a variabilitu hodnot. Graficky znázorněte.

Skupina	Hranice intervalu		Počet osob (n_i)
Skupina	dolní	horní	Počet osob (n_i)
1	(0	2 000>	2
2	(2 000	4 000>	6
3	(4 000	6 000>	10
4	(6 000	8 000>	8
5	(8 000	10 000>	9
6	(10 000	a více	5
Celkem			40

Kontrola: 2 + 6 + 10 + 8 + 9 + 5 = 40, sedí s „40 domácností“ v zadání. Sloupec se v PDF jmenuje „Počet osob“, ale jde o domácnosti.

Typ proměnné a co z toho plyne

Měsíční výdaje na potraviny v Kč jsou kardinální (numerická) spojitá proměnná. Jednotlivé hodnoty nemáme, máme jen tabulku intervalového rozdělení četností. Stejná situace je v řešeném příkladu katedry (Téma 11, Příklad 5, hrubý měsíční příjem v intervalech).

Tabulka: intervalové rozdělení četností, doplníme relativní četnosti p_i, kumulativní četnosti a středy intervalů.
Graf: histogram (graf jen pro intervalové rozdělení četností).
Úroveň: aritmetický průměr (ze středů intervalů), modus a medián (interpolací uvnitř intervalu), kvartily.
Variabilita: rozptyl, směrodatná odchylka, variační koeficient, kvartilové rozpětí.
Co nejde přesně: minimum, maximum a variační rozpětí. Skutečné hodnoty neznáme a poslední interval je otevřený. Všechno, co počítáme ze středů, je jen přibližné.

Řešení po krocích

Krok 1: uzavřít poslední interval (ručně)

Poslední interval „10 000 a více“ je otevřený. Podle katedry (Téma 11, Příklad 5 řešený) se horní hranice otevřeného intervalu stanoví podle šířky předchozího intervalu. Předchozí interval je široký 2 000 Kč, takže:

(10 000; 10 000 + 2 000> = (10 000; 12 000>

Tím se omezí vliv odlehlých hodnot (domácnost s výdaji 30 000 Kč by jinak průměr hodně posunula). První interval (0; 2 000> je uzavřený, nic se na něm neupravuje.

Krok 2: doplnit tabulku (ručně)

p_i = n_i / n N_i = n₁ + … + n_i x_i = (dolní + horní) / 2

Interval (Kč)	n_i	p_i	N_i (kum. abs.)	F_i (kum. rel.)	střed x_i	x_i·n_i	x_i²·n_i
(0; 2 000>	2	0,050	2	0,050	1 000	2 000	2 000 000
(2 000; 4 000>	6	0,150	8	0,200	3 000	18 000	54 000 000
(4 000; 6 000>	10	0,250	18	0,450	5 000	50 000	250 000 000
(6 000; 8 000>	8	0,200	26	0,650	7 000	56 000	392 000 000
(8 000; 10 000>	9	0,225	35	0,875	9 000	81 000	729 000 000
(10 000; 12 000>*	5	0,125	40	1,000	11 000	55 000	605 000 000
Celkem	40	1,000	x	x	x	262 000	2 032 000 000

* horní hranice dopočítaná v kroku 1.

n₃ = 10: deset domácností utrácí měsíčně za potraviny víc než 4 000 Kč a nejvýše 6 000 Kč.

p₅ = 0,225: 22,5 % domácností utrácí víc než 8 000 Kč a nejvýše 10 000 Kč.

N₄ = 26, F₄ = 0,65: 26 domácností, tj. 65 %, utrácí za potraviny nejvýše 8 000 Kč měsíčně.

Krok 3: histogram (ručně nakreslit, nebo SGP)

Histogram rozdělení četností. Sloupce na sebe navazují, protože proměnná je spojitá. Poslední sloupec je čárkovaný: jeho horní hranice 12 000 Kč je dopočítaná.

Krok 4: aritmetický průměr (ručně)

Každý interval zastoupí jeho střed, počítá se vážený průměr.

x̄ = ∑ x_i·n_i / ∑ n_i = 262 000 / 40 = 6 550 Kč

Průměrné měsíční výdaje na potraviny vybraných domácností jsou přibližně 6 550 Kč.

Krok 5: modus (ručně)

Modální interval je ten s největší četností: (4 000; 6 000>, n = 10. Předchozí interval má 6, následující 8.

x̂ = a + d₀ / (d₀ + d₁) · h

d₀ = 10 − 6 = 4, d₁ = 10 − 8 = 2, h = 2 000

x̂ = 4 000 + 4 / (4 + 2) · 2 000 = 4 000 + 1 333,33 = 5 333,33 Kč

Nejvíce domácností má měsíční výdaje na potraviny kolem 5 333 Kč.

Krok 6: medián a kvartily (ručně, interpolací)

Pořadí kvantilu: r = n · p. Interval, ve kterém kvantil leží, je první, jehož kumulativní četnost N_i dosáhne r. Vzorec katedry (Téma 11, Příklad 5 řešený):

x̃_p = a + (r − N_předch) / n_i · h

a je dolní hranice intervalu kvantilu, N_předch kumulativní četnost intervalu před ním, n_i četnost intervalu kvantilu, h jeho šířka.

Medián: r = 40 / 2 = 20. N₃ = 18 < 20 ≤ N₄ = 26, medián je ve 4. intervalu (6 000; 8 000>.

x̃ = 6 000 + (20 − 18) / 8 · 2 000 = 6 000 + 500 = 6 500 Kč

Dolní kvartil: r = 40 / 4 = 10. N₂ = 8 < 10 ≤ N₃ = 18, 3. interval (4 000; 6 000>.

x̃₂₅ = 4 000 + (10 − 8) / 10 · 2 000 = 4 000 + 400 = 4 400 Kč

Horní kvartil: r = 3/4 · 40 = 30. N₄ = 26 < 30 ≤ N₅ = 35, 5. interval (8 000; 10 000>.

x̃₇₅ = 8 000 + (30 − 26) / 9 · 2 000 = 8 000 + 888,89 = 8 888,89 Kč

Druhý způsob (Téma 11, „Výpočet kvantilů z intervalového rozdělení četností“), s kumulativními relativními četnostmi v %:

(x̃_p − x_d) / (x_h − x_d) = (p − i_d) / (i_h − i_d)

medián: (x̃ − 6 000) / 2 000 = (50 − 45) / (65 − 45) ⇒ x̃ = 6 000 + 0,25 · 2 000 = 6 500

Vyjde totéž. Rozdíl by byl jen při zaokrouhlených relativních četnostech, tady jsou přesné.

Medián: 50 % vybraných domácností utrácí za potraviny 6 500 Kč měsíčně nebo méně (a 50 % 6 500 Kč nebo více).

Dolní kvartil: 25 % vybraných domácností utrácí 4 400 Kč měsíčně nebo méně.

Horní kvartil: 75 % vybraných domácností utrácí 8 888,89 Kč měsíčně nebo méně.

Kvantil se interpretuje přes hodnotu proměnné: „50 % domácností má výdaje 6 500 Kč nebo méně“. Věta „65 % domácností utrácí nejvýše 8 000 Kč“ je interpretace kumulativní četnosti (F₄), ne kvantilu. Na přednášce 30. 9. vyučující upozornila, že kolující materiály tyhle dvě věci pletou.

Krok 7: variabilita (ručně)

Výběrový rozptyl s′² (dělení n − 1), výpočtový tvar ze středů:

s′² = (∑ x_i²·n_i − n·x̄²) / (n − 1)

s′² = (2 032 000 000 − 40 · 6 550²) / 39 = (2 032 000 000 − 1 716 100 000) / 39 = 315 900 000 / 39 = 8 100 000 Kč²

s′ = √8 100 000 = 2 846,05 Kč

V_x = s′ / x̄ = 2 846,05 / 6 550 = 0,4345 (43,45 %)

Klasický rozptyl (dělení n), jak ho počítá řešený Příklad 5 katedry:

s² = ∑ x_i²·n_i / n − x̄² = 2 032 000 000 / 40 − 6 550² = 50 800 000 − 42 902 500 = 7 897 500

s = √7 897 500 = 2 810,25 Kč, V_x = 2 810,25 / 6 550 = 0,4290

Které dělení? Řešené příklady k intervalovému rozdělení (Téma 11, Příklad 4 a 5) počítají klasický rozptyl (dělení n) a k výstupu ze Statgraphicsu píšou, že SGP dává výběrový rozptyl (dělení n − 1) a dá se přepočítat: s² = s′² · (n − 1) / n = 8 100 000 · 39/40 = 7 897 500. Na přednášce 30. 9. se u Příkladu 1 počítal výběrový. V testu napiš, který používáš.

Kvartilové rozpětí a kvartilová odchylka:

R_q = x̃₇₅ − x̃₂₅ = 8 888,89 − 4 400 = 4 488,89 Kč, Q = R_q / 2 = 2 244,44 Kč

Variační rozpětí by vyšlo 12 000 − 0 = 12 000 Kč, ale obě krajní hodnoty jsou jen hranice intervalů (horní dokonce dopočítaná), skutečné minimum a maximum neznáme. Proto ho nepoužíváme.

Měsíční výdaje vybraných domácností na potraviny se od průměru liší v průměru o 2 846 Kč (výběrová směrodatná odchylka; klasická 2 810 Kč).

Směrodatná odchylka představuje asi 43 % průměrných výdajů. Pro srovnání: v řešeném Příkladu 5 katedra označila variační koeficient 46 % jako „variabilitu spíše vyšší“.

Prostředních 50 % domácností má výdaje v rozmezí 4 400 až 8 888,89 Kč, rozpětí 4 488,89 Kč.

Rozptyl se neinterpretuje, je v Kč².

Krok 8 (navíc, zadání ho nechce): šikmost

Jednoduchá míra šikmosti α′ = (n_< − n_>) / n, kde n_< je počet podprůměrných a n_> nadprůměrných hodnot. Když každý interval zastoupí střed: podprůměrné (středy 1 000, 3 000, 5 000) jsou 2 + 6 + 10 = 18, nadprůměrné (7 000, 9 000, 11 000) 8 + 9 + 5 = 22.

α′ = (18 − 22) / 40 = −0,1

U intervalových dat je to nespolehlivé. Průměr 6 550 leží uvnitř 4. intervalu (6 000; 8 000> a nevíme, kolik z jeho 8 domácností je pod 6 550. Podle toho může α′ vyjít od −0,1 do +0,3. Navíc x̄ = 6 550 > x̃ = 6 500, což by ukazovalo spíš na mírně kladné zešikmení. Závěr: rozdělení je přibližně symetrické.

Postup v Statgraphicsu

Podle řešeného Příkladu 5 (Téma 11, část „Řešení v SGP“):

Do DataBooku: 1. sloupec xsi se středy intervalů (1000, 3000, 5000, 7000, 9000, 11000), 2. sloupec ni s četnostmi (2, 6, 10, 8, 9, 5).
Označit 3. sloupec, pravé tlačítko, Generate Data, z Operators vybrat REP, výraz REP(xsi;ni), OK. Ve sloupci je 40 hodnot, přejmenovat na Vydaje.
Describe > Numeric Data > One-Variable Analysis (v „Postupech programu Statgraphics“ psáno Describe > One Variable Analysis > One Variable Analysis), Data: Vydaje.
Tables and Graphs: zaškrtnout Summary Statistics, Frequency Tabulation, Percentiles a Frequency Histogram.
Na výstupu Frequency Tabulation pravé tlačítko, Pane Options: počet tříd 6, dolní mez 0, horní mez 12000. Histogram převezme stejné třídy.

Co SGP vrátí (spočítáno ze 40 hodnot středů): Average 6550, Variance 8,1E6, Standard deviation 2846,05, Coeff. of variation 43,45 %. To sedí s ručním výpočtem (výběrová verze).

Median 7000 a Mode 5000 jsou ale špatně: SGP bere středy jako skutečné hodnoty a neinterpoluje. Katedra k tomu píše: „Hodnoty mediánu a modu zde nejsou správné a musíme je vypočítat ručně.“ Stejně tak Percentiles dají dolní kvartil 5000 a horní 9000 místo 4 400 a 8 888,89. Správné jsou ruční hodnoty z kroku 5 a 6.

Screenshot ze Statgraphicsu doplníme

Shrnutí

Charakteristika	Hodnota	Jak
Aritmetický průměr x̄	6 550 Kč	ručně i SGP
Modus x̂	5 333,33 Kč	ručně (SGP dává 5 000, špatně)
Medián x̃	6 500 Kč	ručně (SGP dává 7 000, špatně)
Dolní kvartil x̃₂₅	4 400 Kč	ručně
Horní kvartil x̃₇₅	8 888,89 Kč	ručně
Výběrový rozptyl s′²	8 100 000 Kč²	ručně i SGP
Výběrová sm. odchylka s′	2 846,05 Kč	ručně i SGP
Klasický rozptyl s² / sm. odchylka s	7 897 500 / 2 810,25 Kč	ručně
Variační koeficient	0,4345 (s′), 0,4290 (s)	ručně i SGP
Kvartilové rozpětí R_q	4 488,89 Kč	ručně

Na co se můžou zeptat v testu

Proč se poslední interval uzavírá na 12 000 Kč a ne třeba na 50 000 Kč?

Podle katedry se otevřený interval uzavírá šířkou předchozího intervalu (tady 2 000 Kč). Kdyby byl střed posledního intervalu 30 000 místo 11 000, průměr by vyskočil na (262 000 − 55 000 + 5 · 30 000) / 40 = 8 925 Kč. Medián ani kvartily by se nezměnily, protože neleží v posledním intervalu.

Proč Statgraphics dává jiný medián (7 000) než ruční výpočet (6 500)?

SGP pracuje se 40 hodnotami středů intervalů. 20. a 21. hodnota jsou obě 7 000 (střed 4. intervalu). Ruční výpočet předpokládá, že hodnoty jsou uvnitř intervalu rozložené rovnoměrně, a interpoluje. U intervalového rozdělení platí ruční hodnota.

Co se stane s průměrem a mediánem, když 5 domácností z posledního intervalu přesuneme do prvního?

Průměr klesne: (262 000 − 5 · 11 000 + 5 · 1 000) / 40 = 5 300 Kč. Medián taky klesne, protože se posunou kumulativní četnosti: nově 7, 13, 23, … a medián (r = 20) bude ve 3. intervalu: 4 000 + (20 − 13) / 10 · 2 000 = 5 400 Kč.

Lze z tabulky spočítat variační rozpětí?

Ne přesně. Neznáme skutečné minimum a maximum, jen hranice intervalů, a horní hranice posledního intervalu je dopočítaná. Lepší je kvartilové rozpětí, které na krajních hodnotách nezávisí.