Příklad 7: Interval spolehlivosti pro průměr

Vzorcovník zatím není na e-learningu. Vyučující slíbili, že ho brzy nahrají a že bude v učebně i při testu. Až bude venku, upravím ruční výpočty tak, aby odkazovaly na vzorce z něj.

Zadání

Strana 7 v PDF

Se spolehlivostí 95 % odhadněte, v jakých mezích se bude pohybovat průměrná doba trvalého bydliště náhodně vybraných obyvatel Šluknova. Z datového souboru o 30 pozorováních byly vypočítány tyto výběrové charakteristiky: x̄ = 55,067, s´= 17,3522.

Co známe	Hodnota
rozsah výběru n	30
výběrový průměr x̄	55,067
výběrová směrodatná odchylka s′	17,3522
spolehlivost 1 − α	0,95 (α = 0,05)

Jednotka v zadání chybí. Příklad 9 mluví o stejné proměnné v letech, takže jde nejspíš o roky.

Typ proměnné a co z toho plyne

Doba trvalého bydliště je kardinální (poměrová) proměnná: má smysl průměr i směrodatná odchylka.
Odhadujeme střední hodnotu μ (průměr v celé populaci Šluknova). Bodový odhad je x̄ = 55,067.
„V jakých mezích“ = oboustranný interval, proto kvantil s 1 − α/2.
Rozptyl populace σ² neznáme, máme jen s′ z výběru. Rozsah n = 30, podle řešeného příkladu 13_1 platí pro n ≥ 30 kvantil normovaného normálního rozdělení u, pro n < 30 kvantil Studentova t(n − 1). Tady tedy u.

n = 30 je přesně na hranici. Řešený příklad 13_1 i kolující tahák mají „n ≥ 30 → u“. Podklad promítaný na cvičení (vzorce, str. 5) píše u velkého výběru „n > 30“, podle něj by se použilo t. Hlavní výsledek níž je podle katedry (u), výsledek s t je hned pod ním. Statgraphics počítá vždy s t.

Postup s tahákem

Mít po ruce: tahák se vzorci, str. 1. Data v zadání nejsou, jen x̄, s′ a n, takže Statgraphics interval sám nespočítá. Vzorec i kvantil jsou na taháku, stačí dosadit.

1. Kvantil

Tahák: Hladiny na Z rozdělení, hladiny spolehlivosti Oboustranný interval, 95 %: 1 − α/2 = 0,975.

u_0,975 = 1,960

n = 30, podle taháku i řešeného příkladu 13_1 platí „n ≥ 30 → u“.

2. Dosadit do vzorce

Tahák: Odhad průměru normálního rozdělení, oboustranný, n ≥ 30 Na taháku je σ, místo ní se dosadí s′.

Δ = u_1−α/2 · s′ / √n = 1,96 · 17,3522 / √30 = 1,96 · 3,1681 = 6,209

P( x̄ − Δ < μ < x̄ + Δ ) = P( 48,858 < μ < 61,276 ) = 0,95

3. Kontrola ve Statgraphicsu (nepovinné)

Kvantil: Describe > Distributions > Probability Distributions, Normal, Mean 0, Std. Dev. 1, zaškrtnout Inverse CDF, v Pane Options zadat 0,975. Vyjde 1,95996.

Inverse CDF: pro 0,975 vyjde 1,959967736

Kdyby byla v zadání všechna data: Describe > One Variable Analysis, výstup Confidence Intervals. Statgraphics ale vždy bere kvantil t, vyšlo by (48,588; 61,546).

Ruční řešení po krocích

Krok 1: vzorec (RUČNĚ). Oboustranný interval pro μ, velký výběr, neznámý rozptyl (Teorie odhadu, případ 2):

P( x̄ − u_1−α/2 · s′/√n < μ < x̄ + u_1−α/2 · s′/√n ) = 1 − α

Člen Δ = u_1−α/2 · s′/√n je přípustná chyba odhadu.

Krok 2: kvantil (RUČNĚ z tabulek). α = 0,05, 1 − α/2 = 0,975:

u_0,975 = 1,96

Krok 3: střední chyba průměru (RUČNĚ).

s′/√n = 17,3522 / √30 = 17,3522 / 5,4772 = 3,1681

Krok 4: chyba odhadu (RUČNĚ).

Δ = 1,96 · 3,1681 = 6,209

Krok 5: meze (RUČNĚ).

55,067 − 6,209 = 48,858 55,067 + 6,209 = 61,276

P( 48,858 < μ < 61,276 ) = 0,95

μ ∈ (48,858; 61,276), zaokrouhleně (48,86; 61,28) roku.

Totéž s kvantilem t (jak to spočítá Statgraphics)

t_0,975(29) = 2,045 (tabulky, scipy 2,0452)

Δ_t = 2,045 · 3,1681 = 6,479 → μ ∈ (48,588; 61,546)

Interval s t je o trochu širší, protože t_0,975(29) = 2,045 > u_0,975 = 1,96. Řešený příklad 13_1 to vysvětluje stejně: „STATGRAPHICS ve výpočtech mezí intervalů vždy používá kvantily Studentova t-rozdělení“.

Nahoře interval s kvantilem u (podle katedry), dole s kvantilem t(29) (Statgraphics).

Interpretace

S pravděpodobností 95 % se průměrná doba trvalého bydliště obyvatel Šluknova pohybuje mezi 48,86 a 61,28 roku. Bodovým odhadem je 55,07 roku. Chyba odhadu je ± 6,21 roku.

Na co se můžou zeptat v testu

Jak se interval změní, když chceme spolehlivost 99 %?

Zvětší se kvantil (u_0,995 = 2,576 místo 1,96), interval se rozšíří: Δ = 2,576 · 3,1681 = 8,161, μ ∈ (46,906; 63,228). Vyšší spolehlivost = širší, méně přesný interval.

Co se stane s intervalem, když zvětšíme výběr na 120 osob (x̄ a s′ stejné)?

Chyba odhadu klesá s √n. Čtyřnásobný výběr znamená poloviční chybu: Δ = 1,96 · 17,3522/√120 = 3,105. Interval se zúží na polovinu.

Jak by vypadal odhad nejvyšší průměrné doby bydliště (95 %)?

Jednostranný (pravostranný) interval s kvantilem u_1−α = u_0,95 = 1,645: μ < 55,067 + 1,645 · 3,1681 = 60,278. Nejnižší průměrná doba (levostranný): μ > 49,856.

Proč by při n = 20 vyšel interval širší i při stejném s′?

Dvě věci: menší n zvětší s′/√n a pro n < 30 se místo u bere t(n − 1), které je větší než u. Obojí rozšiřuje interval.