Příklad 9: Rozsah výběru pro průměr

Zadání

Strana 9 v PDF

Stanovte potřebný rozsah výběru pro šetření, jehož předmětem je zjištění průměrné doby trvalého pobytu obyvatel Šluknova. Z předvýzkumu 28 respondentů byla zjištěna hodnota směrodatné odchylky doby trvalého pobytu, která je 15,7 roku. Připouštíme maximální chybu ve výši 2 roky a požadujeme spolehlivost odhadu 95 %.

Zadání příkladu, pokračování:

Jak by se potřebný rozsah výběru změnil, kdybychom chtěli odhadnout nejnižší průměrnou dobu trvalého bydliště?

Zadání příkladu, pokračování:

Jak by se potřebný rozsah výběru změnil, kdybychom v prvním případě uvažovali výběr BEZ VRACENÍ, je-li ve Šluknově hlášeno k trvalému pobytu 6 500 osob?

Co známe	Hodnota
rozsah předvýzkumu	28 (stupně volnosti 27)
směrodatná odchylka z předvýzkumu s′	15,7 roku
přípustná chyba Δ	2 roky
spolehlivost 1 − α	0,95
rozsah populace N (2. pokračování)	6 500

Typ proměnné a co z toho plyne

Doba trvalého pobytu je kardinální proměnná, chceme odhadnout průměr μ. Rozsah se proto počítá z přípustné chyby odhadu průměru.
σ neznáme, s′ je z předvýzkumu malého rozsahu (28 < 30), proto kvantil t(n − 1) se stupni volnosti z předvýzkumu: t(27). Přesně tak to dělá řešený příklad 13_4 (předvýzkum 24 → t_0,975(23)).
Základní případ: oboustranný odhad („průměrná doba“) a výběr s vracením. Vzorce z přednášky platí pro oboustranný interval a výběr s vracením.
Rozsah výběru se zaokrouhluje vždy nahoru: 259,4 respondentů nestačí, potřebujeme 260.

Řešení po krocích

a) Základní případ: oboustranný odhad, s vracením

Krok 1: vzorec (RUČNĚ).

n ≥ t²_1−α/2(n − 1) · s′² / Δ²

Krok 2: kvantil (RUČNĚ z tabulek).

t_0,975(27) = 2,052

Krok 3: dosazení (RUČNĚ).

n ≥ 2,052² · 15,7² / 2² = 4,2107 · 246,49 / 4 = 259,47

n = 260 respondentů

(S přesným kvantilem 2,05183 vyjde 259,43, výsledek je také 260.)

b) 1. pokračování: nejnižší průměrná doba (jednostranný odhad)

Krok 4 (RUČNĚ). „Nejnižší průměrná doba“ = levostranný interval (μ > dolní mez). U jednostranného odhadu se bere kvantil t_1−α místo t_1−α/2:

n ≥ t²_1−α(n − 1) · s′² / Δ²

t_0,95(27) = 1,703

n ≥ 1,703² · 246,49 / 4 = 2,9002 · 246,49 / 4 = 178,72

n = 179 respondentů, o 81 méně než u oboustranného odhadu.

Jednostranný odhad potřebuje menší výběr, protože kvantil je menší (1,703 < 2,052).

c) 2. pokračování: první případ, výběr bez vracení, N = 6 500

Krok 5 (RUČNĚ). Převodní vztah z přednášky (po zanedbání jedničky ve jmenovateli) a z řešeného příkladu 13_6. Dosazuje se už zaokrouhlený rozsah s vracením, jako v 13_6 (131 → 115):

n_BV = N · n_SV / (N + n_SV)

n_BV = 6 500 · 260 / (6 500 + 260) = 1 690 000 / 6 760 = 250,0

n = 250 respondentů, o 10 méně než s vracením.

Výběr bez vracení potřebuje menší rozsah, protože konečnostní násobitel je menší než 1. Populace je ale velká vzhledem k výběru (260/6 500 = 4 %), takže úspora je malá.

Kdyby se dosadilo nezaokrouhlené 259,43, vyjde 249,47 → také 250. Statgraphics výběr bez vracení neumí, úprava se dělá vždy ručně (řešený příklad 13_6).

Minimální rozsah výběru ve třech variantách příkladu 9.

Postup v Statgraphicsu

Podle řešeného příkladu 13_4:

Tools > Sample Size Determination > One Sample.
Ve vstupním panelu zaškrtnout Normal Mean a zadat směrodatnou odchylku 15,7.
V Sample Size Determination Options vyplnit Absolute Error = 2, Confidence level 95 % (přednastaveno), Sigma To be estimated (směrodatnou odchylku odhadujeme z výběru). OK.
Pro 1. pokračování (nejnižší průměr) přepnout Alternative Hypothesis na Greater Than. To je odvozené z řešeného příkladu 13_5, kde se tak u podílu nastavuje odhad minima. Pro průměr to katedra výslovně neukazuje.

Katedra upozorňuje: „Vypočítaná hodnota se může lišit od ručního výpočtu vzhledem k různosti používaných algoritmů.“ A Statgraphics „neposkytuje informaci o minimálním rozsahu výběru pro výběry BEZ VRACENÍ“, 2. pokračování je jen ručně.

Kvantily t: Describe > Distribution Fitting > Probability Distributions, Student's t, D. F. = 27, Inverse CDF, Pane Options 0,975 a 0,95.

Screenshot ze Statgraphicsu doplníme

Interpretace

Abychom průměrnou dobu trvalého pobytu odhadli s chybou nejvýše 2 roky a spolehlivostí 95 %, potřebujeme údaje alespoň od 260 respondentů. Pokud nám stačí odhad nejnižší průměrné doby, stačí 179 respondentů. Při výběru bez vracení z 6 500 obyvatel stačí 250 respondentů.

Na co se můžou zeptat v testu

Co se stane s rozsahem, když chybu zmenšíme na polovinu (Δ = 1 rok)?

Δ je ve jmenovateli na druhou, rozsah se zčtyřnásobí: 2,052² · 246,49 / 1 = 1 037,9 → 1 038 respondentů.

Jak se rozsah změní při spolehlivosti 99 %?

Kvantil vzroste na t_0,995(27) = 2,771: 2,771² · 246,49 / 4 = 473,2 → 474 respondentů. Vyšší spolehlivost potřebuje větší výběr.

Proč t(27), a ne t(259)?

Směrodatná odchylka pochází z předvýzkumu 28 lidí, stupně volnosti se berou z něj (n − 1 = 27). Stejně v řešeném příkladu 13_4: předvýzkum 24 → t(23).

Kdy není potřeba rozlišovat výběr s vracením a bez vracení?

Když je populace velká vzhledem k výběru (n/N → 0). Tady 260/6 500 = 4 %, proto rozdíl jen 10 respondentů.