Příklad 2: Vnímání míry kriminality

Zadání

Strana 2 v PDF

Máme k dispozici údaje o vnímání míry kriminality ve Šluknově od 30 obyvatel této obce. Uspořádejte tato data do vhodné tabulky a vhodným způsobem graficky znázorněte. Pomocí vhodných charakteristik popište úroveň, variabilitu a šikmost těchto hodnot.

5	9	4	5	4	4
3	3	9	5	2	5
3	9	3	2	4	3
2	2	3	3	4	3
3	3	4	1	5	3

Vysvětlivky:

5 … velmi vysoká
4 … poměrně vysoká
3 … středně vysoká
2 … poměrně nízká
1 … velmi nízká
0 … nulová
9 … nedovedu posoudit

30 hodnot, n = 30, z toho 3× kód 9.

Typ proměnné a co z toho plyne

Vnímaná míra kriminality je proměnná ordinální (pořadová), zapsaná čísly 0 až 5:

odpovědi jdou seřadit od „nulová“ po „velmi vysoká“,
vzdálenosti mezi nimi ale nemají obsah: nedá se říct, že „velmi vysoká“ (5) je o tolik větší než „poměrně vysoká“ (4) jako „středně vysoká“ (3) než „poměrně nízká“ (2), ani že 4 je dvakrát víc než 2. Čísla jsou jen kódy pořadí.

Kód 9 „nedovedu posoudit“ je chybějící údaj

Devítka není stupeň škály. Neleží „nad“ velmi vysokou kriminalitou, je to odpověď „nevím“. Podle Tématu 12 je to uživatelem definovaný chybějící údaj (odpověď „nevím“, která není jednou z možností škály). Kdyby zůstala v datech jako číslo 9, počítala by se jako nejvyšší stupeň a úplně by zkreslila průměr, rozptyl i horní kvartil. S devítkou mezi hodnotami by škála navíc přestala být seřaditelná, byla by z ní nominální.

Řešení: tři odpovědi s kódem 9 se vyřadí a zpracovává se n = 27 platných odpovědí. Nahrazovat je (modem, mediánem) se nevyplatí: chybí 3 z 30, tedy 10 % údajů, a v řešeném příkladu 12_1 má nahrazování smysl, jen když chybí nejvýše 5 %. V tabulce se počet odpovědí „nedovedu posoudit“ uvede zvlášť, aby čtenář věděl, z kolika odpovědí se počítalo.

Z typu proměnné plyne:

tabulka prostého rozdělení četností, obměny seřazené podle škály, s kumulativními četnostmi,
graf: polygon četností (doporučuje ho řešený příklad 11_2 pro ordinální proměnnou), v Statgraphicsu sloupcový graf,
pro úroveň hlavně modus a medián (kvartily), průměr jen s výhradou, protože jeho interpretace je „krkolomná“ (řešený příklad 11_2),
pro variabilitu kvartilové rozpětí, průměrná absolutní odchylka od mediánu a rozptyl se směrodatnou odchylkou (počítá je i příklad 11_2),
variační koeficient nepočítat: dělit odchylku průměrem má smysl jen tam, kde má smysl podíl hodnot, a to u ordinální škály neplatí (kódy 0 až 5 by šly nahradit třeba 10 až 15 a koeficient by vyšel úplně jinak),
šikmost jednoduchou mírou α′.

Řešení po krocích

1. Tabulka prostého rozdělení četností

Ručně. Nejdřív vyškrtat devítky (3×), pak spočítat četnosti z 27 platných odpovědí. Kategorii 0 „nulová“ nikdo nezvolil, v tabulce zůstává s četností 0, aby byla vidět celá škála. Poslední tři sloupce jsou pomocné.

Kód x_i	Míra kriminality	n_i	p_i	N_i	F_i	x_i·n_i	x_i²·n_i	\|x_i − x̃\|·n_i
0	nulová	0	0,000	0	0,000	0	0	0
1	velmi nízká	1	0,037	1	0,037	1	1	2
2	poměrně nízká	4	0,148	5	0,185	8	16	4
3	středně vysoká	11	0,407	16	0,593	33	99	0
4	poměrně vysoká	6	0,222	22	0,815	24	96	6
5	velmi vysoká	5	0,185	27	1,000	25	125	10
Celkem		27	1,000	×	×	91	337	22
9	nedovedu posoudit	3	chybějící údaj, do výpočtů nevstupuje (10 % z 30 dotázaných)

Relativní četnosti jsou z 27 platných odpovědí, např. p₃ = 11 / 27 = 0,407.

11 respondentů vnímá kriminalitu ve Šluknově jako středně vysokou. 22,2 % respondentů ji vnímá jako poměrně vysokou. 16 respondentů, tedy 59,3 % těch, kdo odpověděli, ji vnímá nejvýše jako středně vysokou. 3 z 30 dotázaných to nedovedli posoudit.

2. Graf: polygon četností

Ručně náčrt, body [x_i; n_i] v pořadí škály. V Statgraphicsu sloupcový graf (Barchart). Kód 9 do grafu nepatří.

Polygon četností: vnímání míry kriminality ve Šluknově, 27 platných odpovědí (bez „nedovedu posoudit“)

3. Úroveň (poloha)

Modus, ručně.

x̂ = 3 (středně vysoká, n_i = 11)

Medián, ručně. n = 27 je liché, medián je 14. hodnota seřazené řady. Kumulativní četnosti: 1. až 5. hodnota jsou 1 a 2, 6. až 16. jsou trojky.

x̃ = x_((n+1)/2) = x₍₁₄₎ = 3 (středně vysoká)

Kvartily, ručně (n·p < m_p ≤ n·p + 1).

x̃₂₅: 27 · 0,25 = 6,75 < m ≤ 7,75 → m = 7 → x₍₇₎ = 3

x̃₇₅: 27 · 0,75 = 20,25 < m ≤ 21,25 → m = 21 → x₍₂₁₎ = 4

Aritmetický průměr, ručně (jen doplňkově).

x̄ = ∑ x_i·n_i / n = 91 / 27 = 3,370

Respondenti nejčastěji vnímají kriminalitu ve Šluknově jako středně vysokou (modus). 50 % respondentů ji vnímá jako středně vysokou nebo nižší a 50 % jako středně vysokou nebo vyšší (medián). U 25 % respondentů je to středně vysoká a nižší, u 75 % poměrně vysoká a nižší (kvartily). V průměru vnímají kriminalitu mezi středně vysokou a poměrně vysokou, blíž středně vysoké (průměr 3,37).

4. Variabilita

Variační a kvartilové rozpětí, ručně.

R = 5 − 1 = 4 stupně R_q = 4 − 3 = 1 stupeň Q = 0,5

Průměrná absolutní odchylka od mediánu, ručně. Pro ordinální proměnnou ji doporučuje řešený příklad 11_2. Medián je 3, viz poslední sloupec tabulky.

d = ∑ |x_i − x̃|·n_i / n = (2·1 + 1·4 + 0·11 + 1·6 + 2·5) / 27 = 22 / 27 = 0,815 stupně

Rozptyl a směrodatná odchylka, ručně. Výběrový (n − 1, tahák a Statgraphics) a klasický (n, řešený příklad 11_2).

s′² = ∑ (x_i − x̄)²·n_i / (n − 1) = 30,2963 / 26 = 1,1652 s′ = 1,079

s² = ∑ x_i²·n_i / n − x̄² = 337 / 27 − 3,3704² = 12,4815 − 11,3594 = 1,1221 s = 1,059

Variační koeficient se u ordinální škály nepočítá (viz výše). Statgraphics ho přesto vypíše (Coeff. of variation 32,03 %), v řešení ho neuvádět.

Odpovědi pokrývají stupně od velmi nízké po velmi vysokou (rozpětí 4 stupně). Prostřední polovina respondentů vnímá kriminalitu jako středně až poměrně vysokou. Vnímání jednotlivých respondentů se od prostřední odpovědi (středně vysoká) liší v průměru o 0,81 stupně, od průměru v průměru o 1,08 stupně (směrodatná odchylka).

5. Šikmost

Jednoduchá míra šikmosti α′, ručně. Průměr je 3,370: podprůměrné jsou odpovědi 1 až 3 (1 + 4 + 11 = 16), nadprůměrné 4 a 5 (6 + 5 = 11).

α′ = (n_< − n_>) / n = (16 − 11) / 27 = 0,185

Momentová míra α vychází −0,030 (s′), Statgraphics Skewness −0,0342. Je skoro nulová a má opačné znaménko než α′, což je přesně důvod, proč ji vyučující nedoporučuje. Uvádět α′.

Jednoduchá míra šikmosti je 0,185, rozdělení je mírně kladně zešikmené: víc respondentů vnímá kriminalitu jako podprůměrnou (16) než jako nadprůměrnou (11).

Výsledky na jednom místě

Charakteristika	Hodnota (n = 27)	Statgraphics (Summary Statistics)
Rozsah n	27 (+ 3 chybějící)	Count 27
Modus x̂	3, středně vysoká	Mode 3,0
Medián x̃	3, středně vysoká	Median 3,0
Dolní a horní kvartil	3 a 4	Lower quartile 3,0, Upper quartile 4,0
Aritmetický průměr x̄	3,370	Average 3,37037
Variační rozpětí R	4	Range 4,0
Kvartilové rozpětí R_q	1	Interquartile range 1,0
Průměrná abs. odchylka od mediánu d	0,815	není
Výběrový rozptyl s′² a s′	1,1652 a 1,079	Variance 1,16524, Standard deviation 1,07946
Klasický rozptyl s² a s	1,1221 a 1,059	není
Jednoduchá míra šikmosti α′	0,185	není
Momentová míra šikmosti α	−0,030	Skewness −0,0342 (jiný vzorec)

Sloupec Statgraphics je dopočítaný stejnými vzorci, jaké program používá. Ověřit podle screenshotu.

Postup v Statgraphicsu

Nejdřív vyřešit devítky. Data zadat do jednoho sloupce (např. Kriminalita) a tři odpovědi s kódem 9 nechat jako prázdné buňky. Prázdnou buňku Statgraphics bere jako chybějící hodnotu a do výpočtů ji nezahrne, Count pak ukáže 27. Kdyby devítky zůstaly v datech, Statgraphics je spočítá jako číslo 9.

Jiná možnost (odhad, v podkladech katedry není): nechat všech 30 hodnot a v okně procedury do pole Select napsat Kriminalita<>9.

Tabulka četností a graf: Describe > One Factor > Tabulation, výstupy Frequency Table a Barchart. Číselné kódy seřadí program vzestupně sám. Kdyby byla data zapsaná slovy, seřadí je podle abecedy a pořadí je potřeba změnit v Analysis Options (řešený příklad 11_2).

Charakteristiky: Describe > One Variable Analysis, výstup Summary Statistics, kvantily výstup Percentiles.

Průměrnou absolutní odchylku od mediánu ani α′ Statgraphics nemá, počítají se ručně.

Screenshot ze Statgraphicsu doplníme

Na co se můžou zeptat v testu

Co by se stalo, kdyby se kód 9 nechal v datech?

Počítalo by se s n = 30 a devítka by se brala jako „víc než velmi vysoká“. Průměr by vyšel 3,933 místo 3,370, směrodatná odchylka s′ 1,999 místo 1,079 a horní kvartil 5 místo 4. Medián a modus by zůstaly 3. Výsledky by byly zkreslené nahoru, hlavně průměr a variabilita.

Proč „nedovedu posoudit“ nenahradit modem (3)?

Chybí 10 % odpovědí, nahrazování má smysl jen do 5 %. Navíc by tři uměle přidané trojky zvýšily četnost modu a snížily variabilitu, tedy by data vypadala jednotněji, než ve skutečnosti jsou. U ordinální proměnné vycházelo v řešeném příkladu 12_1 nahrazení modem nejhůř.

Kdyby ti tři respondenti odpověděli „velmi vysoká“, změní se medián?

Ne. Bylo by n = 30, medián průměr 15. a 16. hodnoty. Do 3 včetně je 16 odpovědí, obě hodnoty jsou 3, medián zůstane 3. Průměr by vzrostl na (91 + 15) / 30 = 3,533.

Proč se tu nepočítá variační koeficient, když v příkladu 1 ano?

Variační koeficient je podíl s / x̄ a podíl má smysl jen u kardinální škály, kde mají čísla skutečnou velikost. U ordinální škály jsou čísla jen kódy pořadí, posunutím kódů by se koeficient změnil, i když odpovědi zůstaly stejné.