Příklad 8: Maximální podíl

Vzorcovník zatím není na e-learningu. Vyučující slíbili, že ho brzy nahrají a že bude v učebně i při testu. Až bude venku, upravím ruční výpočty tak, aby odkazovaly na vzorce z něj.

Zadání

Strana 8 v PDF

Se spolehlivostí 99 % odhadněte maximální podíl obyvatel Šluknova, kteří mají v úmyslu se ze Šluknova odstěhovat, víte-li, že kladnou odpověď na danou otázku dalo 24 respondentů z náhodně vybraných 120 osob.

Zadání příkladu, pokračování:

Jaký by byl, se spolehlivostí 99 %, maximální počet obyvatel, kteří mají v úmyslu se ze Šluknova odstěhovat, pokud víme, že Šluknov má 6 500 obyvatel?

Co známe	Hodnota
rozsah výběru n	120
počet kladných odpovědí m	24
spolehlivost 1 − α	0,99 (α = 0,01)
počet obyvatel N (pokračování)	6 500

Typ proměnné a co z toho plyne

Odpověď „chci se odstěhovat: ano / ne“ je alternativní proměnná (nominální se dvěma kategoriemi). Průměr ani směrodatná odchylka v běžném smyslu nemají smysl, odhaduje se podíl π (relativní četnost) v populaci.
„Maximální podíl“ = hledáme jen horní mez, tedy pravostranný interval (π < horní mez). Kvantil je proto u_1−α, ne u_1−α/2.
U podílu se vždy bere kvantil u (normované normální rozdělení), t se tu nepoužívá.

Postup s tahákem

Mít po ruce: tahák se vzorci, str. 1. Statgraphics interval pro podíl z p a n spočítat neumí (řešený příklad 13_3). Vzorec, podmínka i kvantil jsou na taháku.

1. Bodový odhad a podmínka

Tahák: Odhad proporce

p = m / n = 24 / 120 = 0,2 n · p(1 − p) = 120 · 0,2 · 0,8 = 19,2 > 9 ✓

2. Kvantil

Tahák: Hladiny na Z rozdělení, hladiny spolehlivosti „Maximální podíl“ je jednostranný odhad, proto u_1−α, ne u_1−α/2.

u_0,99 = 2,326

3. Dosadit

Tahák: Odhad proporce, Δ Na taháku je oboustranný vzorec. Jednostranný je stejný, jen s kvantilem z kroku 2.

Δ = u_0,99 · √( p(1 − p) / n ) = 2,326 · √( 0,2 · 0,8 / 120 ) = 2,326 · 0,036515 = 0,0849

P( π < 0,2 + 0,0849 ) = P( π < 0,2849 ) = 0,99

4. Počet obyvatel

6 500 · 0,28493 = 1 852,07 → nejvýše 1 852 obyvatel

5. Kontrola kvantilu ve Statgraphicsu (nepovinné)

Describe > Distributions > Probability Distributions, Normal, Mean 0, Std. Dev. 1, Inverse CDF. Hodnota 0,99 je v tabulce už ve výchozím stavu: 2,32635.

Ruční řešení po krocích

Krok 1: bodový odhad (RUČNĚ).

p = m / n = 24 / 120 = 0,2

Krok 2: podmínka dostatečně velkého výběru (RUČNĚ). Teorie odhadu požaduje n · p(1 − p) > 9:

120 · 0,2 · 0,8 = 19,2 > 9 ✓

Krok 3: vzorec (RUČNĚ). Pravostranný interval pro π:

P( π < p + u_1−α · √( p(1 − p) / n ) ) = 1 − α

Krok 4: kvantil (RUČNĚ z tabulek). 1 − α = 0,99:

u_0,99 = 2,326

Krok 5: chyba odhadu (RUČNĚ).

√( 0,2 · 0,8 / 120 ) = √0,0013333 = 0,036515

Δ = 2,326 · 0,036515 = 0,0849

Krok 6: horní mez (RUČNĚ).

0,2 + 0,0849 = 0,2849 → P( π < 0,2849 ) = 0,99

π < 0,2849, tedy nejvýše 28,49 % obyvatel.

Pokračování: maximální počet obyvatel

Krok 7 (RUČNĚ). Horní mez podílu vynásobíme počtem obyvatel:

M < N · 0,2849 = 6 500 · 0,28493 = 1 852,07

Nejvýše 1 852 obyvatel (počet osob je celé číslo, horní mez se zaokrouhluje dolů).

Pro srovnání: bodový odhad počtu je 6 500 · 0,2 = 1 300 obyvatel.

S kvantilem zaokrouhleným na 2,33 (některé tabulky) vyjde 6 500 · 0,28508 = 1 853,0. Výsledek tedy 1 852 nebo 1 853 podle toho, jak přesný kvantil se použije. S přesným kvantilem 2,32635 vychází 1 852,15.

Zadání neříká, že jde o výběr bez vracení, proto hlavní výsledek je bez konečnostního násobitele. Kdyby se počítal (√((N − n)/(N − 1)) = √(6 380/6 499) = 0,9908), vyjde Δ = 0,0842, π < 0,2842 a nejvýše 1 847 obyvatel (s přesným kvantilem 2,32635; s u = 2,326 vyjde 1 846). Výběr tvoří jen 1,8 % populace, takže rozdíl je malý. Tento výpočet je odhad, v řešených příkladech katedry k intervalu pro π s násobitelem vzor není.

Pravostranný 99% interval: π leží pod hranicí 0,2849.

Interpretace

S pravděpodobností 99 % má v úmyslu odstěhovat se ze Šluknova nejvýše 28,49 % obyvatel. Při 6 500 obyvatelích je to nejvýše 1 852 lidí.

Na co se můžou zeptat v testu

Proč se bere u_0,99 a ne u_0,995?

Ptáme se jen na maximum, interval je jednostranný. Celé riziko α = 1 % je na jedné straně, proto u_1−α. U oboustranného by se α dělila na dvě poloviny a bral by se u_1−α/2 = u_0,995 = 2,576.

Jak by vypadal oboustranný 99% interval?

Δ = 2,576 · 0,036515 = 0,0941, π ∈ (0,1059; 0,2941). Horní mez je vyšší než u jednostranného (0,2849), protože kvantil je větší.

Co se stane s horní mezí, když snížíme spolehlivost na 95 %?

Kvantil klesne na u_0,95 = 1,645, horní mez je 0,2 + 1,645 · 0,036515 = 0,2601. Nižší spolehlivost = užší interval, mez je blíž k p.

Kdyby kladně odpovědělo 5 ze 120, šel by odhad udělat?

p = 0,0417, n · p(1 − p) = 120 · 0,0417 · 0,9583 = 4,8, to je méně než 9. Podmínka dostatečně velkého výběru není splněná a vzorec s u by nebyl spolehlivý.